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Acertijos

Recuerda que solo debes revisar las ayudas si después de mucho intentar no has logrado solucionar los problemas

Pregunta 1: Estoy enfrente de una pileta de agua. Solo tengo un recipiente de cinco galones y otro de tres. ¿Cómo obtengo de la pileta exactamente cuatro galones de agua?

Si estas en la situación en la cual tienes dos galones de agua en el recipiente de tres galones, y también tienes lleno el recipiente de cinco, ¿de qué manera podrías dejar solo cuatro galones en el recipiente de cinco? ¿Cómo llego a esta situación?

Pregunta 2: Tengo doce monedas de oro, todas del mismo peso, excepto una. No sé si la moneda que no es del mismo peso es más o menos pesada que las otras. Solo tengo a mi disposición una balanza de dos platos, que sirve para saber si lo que pongo en un plato es más pesado que lo que pongo en el otro. ¿Cómo puedo saber, en a lo sumo tres usos de la balanza, cuál es la moneda que no pesa lo mismo que las otras?

No hay una única manera de resolver este acertijo. Las siguientes indicaciones ilustran nuestra manera preferida de resolver el acertijo.

Ayuda 1: Aprende a solucionar primero el siguiente problema más sencillo. Debes suponer que tienes tres monedas, las cuales incluyen una de peso diferente. Además, debes suponer que ya sabes si la de peso diferente es más o menos pesada que las demás. El problema consiste en determinar, en un solo intento, cuál de las tres monedas es la de peso diferente.

Ayuda 2: Respecto al problema completo. Debes dividir las doce monedas en tres grupos de cuatro monedas. Selecciona dos grupos y compáralos mediante la balanza. Si la balanza no se mueve, entonces ya sabes que en el grupo que dejaste aparte está la moneda de distinto peso, y ya sabes cuáles monedas son de peso normal. Ahora debes usar tres monedas de peso normal para compararlas con tres del grupo donde está la de peso distinto, para determinar si la moneda diferente es más pesada o menos pesada que las demás (si la balanza no se mueve al comparar esos dos grupos de tres monedas, no necesitarás un nuevo intento para encontrar la moneda diferente. ¿Por qué?). Tendrás entonces un grupo de tres monedas que incluye a la de peso diferente y un solo intento para encontrarla (ver ayuda 1). Por otro lado, si la balanza se mueve al comparar dos grupos iniciales de cuatro monedas, ya sabes que el grupo que dejaste aparte contiene solo monedas normales. Usa tres de esas para reemplazar tres del plato que subió, las cuales debes, a su vez, usar para reemplazar tres del otro plato. Analiza esta situación y te darás cuenta que estarás en una situación parecida a la de la ayuda 1.

Pregunta 3: En el siglo XVIII, la ciudad de Königsberg (Prusia) estaba situada a ambos lados del río Pregel, e incluía dos islas que estaban conectadas entre sí y con las orillas del río mediante siete puentes. Se debe diseñar una travesía por las islas de tal manera que cada puente sea cruzado exactamente una vez. Está prohibido alcanzar una orilla o una isla por un medio que no sea un puente, y una vez que se comienza a cruzar un puente, es necesario llegar hasta el otro extremo.

Darse cuenta de que el problema no tiene solución no es difícil. Lo difícil es demostrar por qué el problema no tiene solución. La respuesta se la debemos al matemático alemán Leonhard Euler. La siguiente es una indicación de cómo procede la prueba.

Paso 1:

Para entender el escenario relativamente más complejo de los puentes de Königsberg, analicemos primero un escenario más sencillo. Considere un río con una cantidad n de puentes, supongamos seis, como se muestra en la siguiente figura:



Cada puente tiene un nombre, de la letra a a la f; la orilla superior se llama A y la inferior se llama B.

Ahora bien, cruzar el puente a desde la orilla A hasta la orilla B lo denotaremos por AaB. Cruzar el puente a desde B hasta A lo denotaremos BaA. Cruzar desde A hasta B por el puente a, y luego regresarse a la orilla A por el puente b lo denotaremos AaBbA, etc. A dichas sucesiones de letras las llamaremos “secuencias”.

Paso 2:

No es difícil ver los siguientes resultados, los cuales aplican a la figura anterior:
1. Si cruzo dos puentes (cada uno solo una vez), la secuencia que denota mi camino contiene tres letras mayúsculas. En general, si cruzo n puentes (cada uno solo una vez), la secuencia que denota mi camino contiene n+1 letras. Por ejemplo, si mi camino consiste en cruzar los puentes a y b (cada uno solo una vez) partiendo de A, la secuencia que lo representa es AaBbA, que contiene tres letras mayúsculas.

2. Si cruzo tres puentes (cada uno solo una vez), la secuencia que denota mi camino contiene cada letra mayúscula exactamente dos veces. En general, si cruzo un número impar m de puentes (cada uno solo una vez), cada letra mayúscula aparece en la secuencia que representa mi camino exactamente (m+1)/2 veces. Por ejemplo, cruzar los puentes a, b y c, partiendo de la orilla A, se representa mediante AaBbAcB, en la cual la letra A aparece (3+1)/2 veces; de igual manera, B aparece 2 veces.

Paso 3:

Respecto al problema de los puentes de Königsberg, dado que debo cruzar siete puentes (cada uno solo una vez), entonces la secuencia que representa el camino debe contener ocho letras (ver resultado 1).

Paso 4:

Nombre las orillas de los puentes de Königsberg como aparece en la siguiente figura:





Una secuencia que represente un camino que pasa por la orilla A y que cruza los cinco puentes que llegan a A (cada uno solo una vez), contiene la letra A tres veces (ver resultado 2). Una secuencia de un camino que pasa por B y que cruza los tres puentes que llegan a B (cada uno solo una vez), debe contiene la letra B dos veces, y así para las orillas C y D. Al sumar todas las letras que necesitamos para representar el camino, obtenemos nueve letras mayúsculas. Esto contradice el resultado del paso 3.

Pregunta 4: John von Neumann explica las medidas de seguridad que toma antes de acostarse: “Cada noche, provisto de mi llavero, cierro todas las puertas de mi casa, atravesando cada una de ellas antes de cerrarla (pero sólo cierro una puerta si la atravieso). Se entiende que no entro y no salgo más que por las puertas. Duermo con mi llavero”. Aquí está el plano de la casa de John. ¿En qué habitación duerme?

Recuerde que John sólo cierra las puertas que atraviesa. Siga las flechas rojas en el plano de abajo. John duerme en el cuarto más grande, que se ve en el plano en la esquina superior derecha.


 

Pregunta 5: ¿Cómo invertir la posición de los caballos blancos por la de los caballos negros en exactamente dieciséis jugadas?

La siguiente es una manera de encontrar los movimientos de los seis caballos, para que intercambien posiciones. Primero enumera las casillas del uno al doce, como en la siguiente figura:



Luego haz un grafo, en el cual cada nodo representa una casilla, y cada vértice que vincula A con B representa que si hay un caballo en la casilla A, éste puede saltar a la casilla B. El grafo queda así:



Ahora intenta pasar el caballo de la casilla 2 a la 12, el de la 10 a la 2, el de la 3 a la 10, el de la 11 a la 3, el de la 1 a la 11, y finalmente el de la 12 a la 1 (por supuesto, para hacer todo esto, es necesario primero desocupar la casilla 12).