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La Pirámide visual
Evolución de un instrumento conceptual

Capítulo 5

Kepler y el horizonte alemán o de cómo se estableció el protagonismo de la retina

Johan van Beverwyck. Wercken der genees-konstet, 1664. Royal Library: The Hague


En este capítulo nos ocupamos de los intrincados caminos que condujeron a Kepler a postular el protagonismo de la retina en la recepción de efectos pictóricos provocados por los objetos externos. Mostramos que ese ejercicio se logró después de desentrañar el problema de la formación de imágenes a través de pequeños orificios (cámara obscura) y de adelantar una compleja investigación para establecer una ley de la refracción. Esta fase conduce al que hemos denominado Teorema Fundamental de la Óptica. Este teorema establece que un haz homocéntrico de luz se refracta como un nuevo haz homocéntrico en el interior del ojo.

Figura 2. Bacon y el paso de la luz por agujeros
Instrucciones: El punto D se puede desplazar a lo largo de una línea vertical imaginaria y con ello cambiar las dimensiones de la abertura del agujero. También se puede modificar el diámetro de la circunferencia. Observe la nueva distribución de los rayos.


Figura 3. Imagen que proyecta una fuente puntual
Instrucciones: La ubicación de la fuente (E) o la del agujero (O) se pueden modificar si dichos puntos se mueven a lo largo de una línea vertical imaginaria. Los puntos F y G se pueden mover libremente en el plano para cambiar las dimensiones del agujero. Observe cómo cambia la formación de la imagen MKL conforme se adelantan las modificaciones de la fuente o del agujero.


Figura 4. Imagen de la fuente gracias a un agujero puntual
Instrucciones: La ubicación de la fuente (E) se pueden modificar; para ello mueva el punto E a lo largo de una línea vertical imaginaria. El tamaño de la fuente se puede modificar si mueve el punto N. Observe cómo cambia la formación de la imagen FGH conforme se adelantan las modificaciones de la fuente. La ubicación de la pantalla se puede modificar si se mueve el punto I a lo largo de una línea vertical imaginaria.


Figura 5. Imagen que proyecta una fuente triangular por un agujero poligonal
Instrucciones: La ubicación de la fuente (E) se pueden modificar si se mueve el punto E sobre una línea vertical imaginaria. El tamaño de la fuente se puede modificar si se mueve libremente el punto P. Si se quiere modificar el tamaño del agujero, mueva el punto H sobre la recta imaginaria FH. El punto X se puede mover a lo largo del segmento GH; así se observa el tipo de imágenes proyectadas por las pirámides que convergen en los bordes del agujero. Observe cómo se desplaza la serie de imágenes N´P´Q´ mientras se desplaza X. Observe también cómo cambia la imagen F´G´H´O´ conforme se modifica la ubicación de la fuente. Los planos se pueden rotar para divisar el esquema desde otras perspectivas.


Figura 6. Lema 1
Instrucciones: Los puntos E, P, O, F y O’ se pueden desplazar a lo largo de la recta NP los dos primeros y de la recta GF (paralela a NP) los restantes; así se pueden modificar las dimensiones de los segmentos EP y OF y la ubicación del segmento O´F´. Observe que, sin importar la ubicación del segmento O’F’ (que coincide en dimensiones con OF) el punto K, que se obtiene en el cruce de EO’ y PF’, se desplaza a lo largo de una paralela a NP que pasa por I.


Figura 7. Formación de imágenes a través de agujeros
Instrucciones: Los puntos N, P, F se pueden desplazar a lo largo de rectas horizontales; así se puede cambiar las dimensiones de la fuente luminosa NP y de la abertura FG. Los puntos X e Y se pueden desplazar a lo largo de una línea vertical imaginaria; así se puede cambiar la ubicación de las pantallas HV y BC. Asegúrese de que los botones “Pantalla en I” y “Pantalla en Y” estén activados. Observe cómo varían los límites de las pirámides extendidas EFG y NPI al modificar la ubicación de las pantallas.


Figura 8. Formación de imágenes a través de agujeros
Instrucciones: La ubicación de la pantalla inferior se pueden desplazar verticalmente; para ello mueva a lo largo de una vertical imaginaria al centro del círculo mayor que aparece en el plano inferior. La fuente de luz se puede acercar o alejar del agujero si se mueve el centro del círculo superior a lo largo de una línea vertical imaginaria. Observe cómo se traslapan las dos pirámides que difieren en tonalidades de gris. Los planos se pueden rotar para visualizar el esquema desde otras perspectivas.


Figura 9. Euclides, Catóptrica, prop. 16
Instrucciones: Los puntos A y B se pueden desplazar libremente; así se puede cambiar las posiciones del objeto, B, y del observador, A. Observe cómo varía la ubicación de la imagen percibida E, según el principio clásico de la formación de imágenes.


Figura 10. Evaluación de la distancia
Instrucciones: El punto A se puede mover libremente y así cambiar la ubicación del objeto observado. Observe cómo varía la amplitud de los ángulos α y β. En el costado derecho se exhiben las amplitudes angulares y la evaluación de las distancias O1A y O2A.


Figura 12. Refracción aire-agua
Instrucciones: El ángulo de incidencia, i, se puede variar libremente. Para ello mueva el punto rojo resaltado sobre el rayo de incidencia. Observe cómo varía el ángulo de refracción. La naturaleza, si se puede decir así, elige una entre las múltiples posibilidades subrayadas en tonalidades de gris.


Figura 13. Primera analogía
Instrucciones: Los puntos A y K se pueden mover libremente a lo largo de una vertical imaginaria; así se pueden cambiar la ubicación del observador y el patrón de comparación de densidades ópticas. El cociente entre las densidades ópticas aparece como (n2/n1). El punto F se pueden mover libremente a lo largo de una horizontal imaginaria; así se puede cambiar el punto de incidencia. Note que al desplazar el punto F, las prolongaciones de NF cortan a la vertical EA en el mismo punto R.


Figura 15. Primera familia de analogías: candidatos 2
Instrucciones: El punto A se puede mover libremente a lo largo de una vertical imaginaria; así se puede cambiar la ubicación del observador para un patrón de comparación de densidades ópticas ya fijo. El punto B se puede mover libremente a lo largo de una horizontal imaginaria; así se puede cambiar la ubicación del punto de incidencia de la luz. Observe el lugar geométrico de los puntos M cuando se desplaza el punto B. Puede variar el coeficiente de las densidades ópticas “n21” si lo desea.


Figura 16. Primera familia de analogías: candidatos 3
Instrucciones: El punto A se puede mover libremente a lo largo de una vertical imaginaria; así se puede cambiar la ubicación del observador para un patrón de comparación de densidades ópticas ya fijo. El punto B se puede mover libremente a lo largo de una horizontal imaginaria; así se puede cambiar la ubicación del punto de incidencia de la luz. Observe el lugar geométrico de los puntos M cuando se desplaza el punto B. Puede variar el coeficiente de las densidades ópticas “n21” si lo desea.


Figura 17. Kepler y la unidad de las cónicas
Instrucciones: Los puntos F, B o A se puede mover libremente a lo largo de una vertical imaginaria; así se puede cambiar la ubicación de uno de los focos de la hipérbola, uno de los focos de la elipse, el centro de la circunferencia o el otro foco de la hipérbola o la elipse. Si desea animar automáticamente cualquiera de dichos focos, siga las instrucciones para la animación automática. Si se elige el foco de la hipérbola (F) ella se va acercando a la parábola; si se elige el foco de la elipse (B) ella se va acercando también a la parábola.


Figura 18. Modelación con hipérbolas
Instrucciones: El punto B se puede mover libremente a lo largo de una vertical imaginaria; así se puede cambiar la ubicación de uno de los focos de la hipérbola. Asegúrese de desactivas todos los botones.


Figura 19. Aplicación a otro punto F
Instrucciones: Además de los cambios sugeridos en la Figura 20, el punto F se puede mover libremente a lo largo de la hipérbola; así se puede cambiar el ángulo de incidencia (α) y evaluar el ángulo de refracción esperado (β). Asegúrese de que el botón “F” esté activado. Observe las variaciones en las amplitudes angulares (las medidas aparecen en el sector derecho de la pantalla).


Figura 20. Comparación Kepler (negro), Witelo (cruces), Snell-Descartes (línea punteada)
Instrucciones: Además de los cambios sugeridos en la Figura 20, el punto F se puede mover libremente a lo largo de la hipérbola; así se puede cambiar el ángulo de incidencia (ABF) y el ángulo de refracción esperado (BAF´) de acuerdo a la Ley de Snell-Descartes con un índice de refracción ajustado a la pareja (80°, 50°). Asegúrese de que los botones “F”, “Datos Snell-Descartes” y “Datos Witelo” estén activados. Los datos de Snell-Descartes se reconocen como F’ y los datos de Witelo aparecen en cruces.


Figura 23. Modelación con parábolas
Instrucciones: Los puntos C e I se pueden mover libremente a lo largo de una vertical imaginaria; así se puede cambiar los puntos de calibración de la parábola. Asegúrese de que el botón “E-K-N” esté activado.


Figura 24. Modelación con parábolas
Instrucciones: Además de los cambios sugeridos en la Figura 23, el punto F se puede mover libremente a lo largo de la parábola (parte (a)); así se puede cambiar el ángulo de incidencia (α) y evaluar el ángulo de refracción esperado (β). Asegúrese de que el botón “F” esté activado. Observe las variaciones en las amplitudes angulares (las medidas aparecen en el sector derecho de la pantalla). Los datos de Snell-Descartes se reconocen como F’ y los datos de Witelo aparecen en cruces.


Figura 26. Instrumento de control (Ley de Snell), en círculos blancos los datos de Witelo
Instrucciones: El punto B se puede mover libremente a lo largo de una horizontal imaginaria; así se puede cambiar el punto de incidencia en la interfase aire-agua. Las medidas de los ángulos de incidencia y refracción aparecen al costado derecho de la pantalla. Si desea, puede cambiar el índice de refracción “n21”. Si quiere comparar con los datos de Witelo, active el botón “Datos Witelo”. Para hacer la comparación, asegúrese de que el índice de refracción se encuentre en el valor 1,33 que corresponde al índice del agua con respecto al aire.


Figura 35. Objeto visto a través de una esfera cristalina
Instrucciones: El punto A se puede mover libremente a lo largo de una vertical imaginaria; así se puede cambiar la ubicación del objeto. El punto E se puede mover libremente sobre la circunferencia de centro I; así se puede cambiar el recorrido de los rayos AEFC y AGHB. Observe el comportamiento de la intersección D. También es posible cambiar el índice de refracción “n21”.


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Figura 37. Lema 1
Instrucciones: El ángulo de incidencia i1 se puede variar libremente entre 0° y 90°. Para ello mueva, sobre una circunferencia imaginaria, el punto que define el extremo de la marca del ángulo. Observe el comportamiento del ángulo r2 al variar i1. También puede cambiar el índice de refracción “n21”.


Figura 38. Teorema 1
Instrucciones: Si quiere, puede cambiar el índice de refracción “n21”, la amplitud del ángulo crítico aparece en la pantalla.


Figura 39. Puntos radiantes en el segmento IV
Instrucciones: El punto O se puede mover libremente a lo largo de una horizontal imaginaria; así se puede cambiar la ubicación del objeto. Asegúrese de que el punto O se encuentre en el segmento IV. El punto C se puede mover libremente a lo largo de la circunferencia de centro A; así se puede cambiar la elección del rayo incidente OC. Asegúrese de activar el botón “Punto O”. Si quiere, puede cambiar el índice de refracción “n21”.


Figura 40. Puntos radiantes en el segmento IV con C muy cerca de V
Instrucciones: Si el punto C está muy alejado de H (Figura 40), puede ocurrir que E se encuentre a la derecha de AG. La intersección de la extensión de la segunda refracción EM se acerca al punto I sin abandonar la semirrecta OI. El punto O se puede mover libremente a lo largo de una horizontal imaginaria; así se puede cambiar la ubicación del objeto. Asegúrese de que el punto O se encuentre en el segmento IV. El punto C se puede mover libremente a lo largo de la circunferencia de centro A; así se puede cambiar la elección del rayo incidente OC. Asegúrese de activar el botón “Punto O”. Si quiere, puede cambiar el índice de refracción “n21”.


Figura 41. Puntos radiantes más alejados de I
Instrucciones: El punto O se puede mover libremente a lo largo de una horizontal imaginaria; así se puede cambiar la ubicación del objeto. Asegúrese de que el punto O se encuentre más alejado que el punto I. El punto C se puede mover libremente a lo largo de la circunferencia de centro A; así se puede cambiar la elección del rayo incidente OC. Asegúrese de activar el botón “Punto O”. Si quiere, puede cambiar el índice de refracción “n21”.


Figura 42. Puntos radiantes más alejados de I, rayos que intersecan al eje del mismo lado de la esfera
Instrucciones: El punto O se puede mover libremente a lo largo de una horizontal imaginaria; así se puede cambiar la ubicación del objeto. Asegúrese de que el punto O se encuentre muy alejado de F. El punto C se puede mover libremente a lo largo de la circunferencia de centro A; así se puede cambiar la elección del rayo incidente OC. Asegúrese de activar el botón “Punto O”. Si quiere, puede cambiar el índice de refracción “n21”.


Figura 43. Lema 2
Instrucciones: El punto B se puede mover libremente a lo largo de la circunferencia de centro F; así se puede cambiar la elección de las amplitudes angulares AFB, BFC, CFD. El punto E se puede mover libremente a lo largo del diámetro AG extendido. Si quiere, puede cambiar el índice de refracción “n21”. La circunferencia de centro F se puede hacer más amplia o reducirse.


Figura 44. Teorema 2
Instrucciones: El punto B se puede mover libremente a lo largo de la circunferencia de centro F; así se puede cambiar la amplitud de los ángulos de incidencia MBB’ y NCC’. Si quiere, puede cambiar la constante de proporcionalidad para la evaluación de la desviación d1, es decir, el coeficiente “k”. Asegúrese de activar el botón “1a refracción” y desactivar los botones “2a refracción” y “Snell-Descartes”. La circunferencia de centro F se puede hacer más amplia o reducirse.


Figura 45. Doble refracción en el Teorema 2
Instrucciones: El punto B se puede mover libremente a lo largo de la circunferencia de centro F; así se puede cambiar la amplitud de los ángulos de incidencia MBB’ y NCC’. Si quiere, puede cambiar la constante de proporcionalidad para la evaluación de la desviación d1, es decir, el coeficiente “k”. Asegúrese de que el botón “2a refracción” esté activado y el botón “1a refracción” desactivado. Si activa el botón “Snell-Descartes” puede observar el comportamiento de los rayos de luz atendiendo la ley de Snell-Descartes. La circunferencia de centro F se puede hacer más amplia o reducirse.


Figura 46. Teorema 3
Instrucciones: El punto o se puede mover libremente a lo largo de la circunferencia de centro A; así se puede cambiar los puntos de incidencia o, m, n, q en la segunda refracción. Si quiere, puede cambiar el índice de refracción “n21”. La circunferencia de centro F se puede hacer más amplia o reducirse.


Figura 47. Cristalino con superficie posterior elíptica
Instrucciones: Active el botón “elipses”. Los dos puntos libres sobre la elipse se pueden mover libremente; así se puede cambiar la forma de la elipse que adopta la parte posterior del cristalino. Si quiere, puede cambiar el índice de refracción “n21”.


Figura 48. Teorema fundamental de la óptica
Instrucciones: El punto A se puede mover libremente a lo largo de una vertical imaginaria; así se puede acercar o alejar la circunferencia que representa la esfera de cristal. También puede ampliar o reducir las dimensiones de la circunferencia. El punto E se puede mover libremente a lo largo de una horizontal imaginaria; así se puede variar la longitud de la abertura EB. Los puntos I y H se pueden mover libremente a lo largo de una horizontal imaginaria el primero o una vertical imaginaria el segundo; así se puede cambiar el tamaño del objeto y la ubicación frente a la abertura. Si quiere, puede cambiar el índice de refracción “n21” Los botones “R1”, “R2” o “R3” permiten aislar los rayos estudiados.