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La Pirámide visual
Evolución de un instrumento conceptual

El problema de Alhacén

Solución de Huygens


En una carta de Huygens a Oldenburg en junio de 1669 el matemático calificó la solución de Alhacén con los siguientes adjetivos: «larga y tediosa» [longa admodum ac tediosa]1. Christian Huygens (1629-1695) propuso una solución en 1669 y después la perfeccionó en 1672. La propuesta de Huygens hace uso de herramientas propias del álgebra moderna y la geometría analítica. Presentamos a continuación el esquema general de la solución de Huygens y su modelación en Cabri II Plus. La demostración o justificación de la solución se puede consultar en la bibliografía citada. Sea G el centro del espejo esférico, A y B los puntos que determinan las posiciones de objeto y observador.

Esquema general de la construcción


  1. Se trazan los diámetros FL y KH que contienen respectivamente los puntos A y B.
  2. Se construye la circunferencia que pasa sobre A, B y G. Sea Z el centro de dicha circunferencia.
  3. Se traza GERO perpendicular a AB, E en la recta BA, R en la circunferencia ABG, O en la superficie del espejo.
  4. Se encuentra el punto N sobre GO de tal manera que GO sea media proporcional entre GR y GN. Es decir: GR/GO = GO/GN. Se traza M´N perpendicular a GO.
  5. Se encuentra el punto I sobre GO de tal manera que GO sea media proporcional entre GI y un segmento de longitud cuatro veces mayor a GE. Es decir: GI/GO = GO/(4(GE)). Se localiza el punto Y, sobre GO, de tal manera que I sea el punto medio de YN. Se traza YM (M sobre M´N) paralela a GZ.
  6. Se obtiene el punto S sobre GO de tal manera que (IS)(IS) = ((GO)(GO)/2) + (GI)(GI). Se obtiene X sobre GO de tal manera que SI = IX. Se construye la hipérbola que pasa por S y X y tiene como asíntotas las rectas M´M y MY.
  7. Finalmente se obtienen los cortes D1, D2, D3, D4 de la hipérbola con el espejo. Estas son las soluciones buscadas. Puede ocurrir que no sean cuatro los cortes.


Figura 41. Solución de Huygens